Узнай об автоматике все - читай kip-help.narod.ru

Хочешь узнать ответ

на свой вопрос?

Напиши в редакцию!

Теория и практика

электроники

Пусть A(S)=a_nSⁿ+a_n-1S^n-1+...+a₁S+a₀ - характеристический полином

Для определения устойчивости по Гурвицу из коэффициентов характеристического полинома строится матрица размером n x n по следующему правилу:

1) По главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты от a_n-1 до a₀

2) От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы матрицы так, чтобы индексы убывали снизу вверх.

3) На место коэффициентов с несуществующими индексами (меньше нуля и больше n) вписываются нули

Для того, чтобы система была устойчива (все корни характеристического полинома имели отрицательные вещественные части), необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры и главный определитель полученной матрицы были положительны. Эти определители (главный определитель и диагональные миноры) называются определителями Гурвица.

Если D_n=0 - система находится на границе устойчивости. D_n=a₀*D_n-1 => система находится на границе устойчивости в двух случаях:

1) a₀=0 - апериодическая граница устойчивости (нулевой корень)

2)D_n-1=0 - колебательная граница устойчивости (чисто мнимые сопряженные корни)

Критерий устойчивости Гурвица относится к алгебраическим критериям. Его плюс заключается в том, что этот алгоритм легко реализовать на компьютере, однако минус заключается в том, что он не обладает наглядностью. Кроме того, этот критерий не годится для исследования устойчивости замкнутых систем с запаздыванием, т.к. в этом случае знаменатель передаточной функции не является полиномом ( W_¥(S)=A(S)*e^-t*t/B(S), тогда Фз(S)=A(S)*e^-t*t/(B(S)+A(S)*e^-t*t - в знаменателе не полином).

Пример: D(S)=5S³+3S²+2S+1

a₃=5 a₂=3 a₁=2 a₀=1

Т.к. n=3, то матрица коэффициентов имеет размер 3x3, заполняем ее по приведенным выше правилам:

здесь коэффициенты, обведенные кружком - не существуют, поэтому заменив их на нули, окончательно получим:

Найдем определители Гурвица:

D₁=a₂=3 > 0

D₂=a₁*a₂-a₃*a₀=2*3-5*1=1 > 0

D₃=a₀*D₂=1*D₂=1 >0

Все определители Гурвица > 0, следовательно - система устойчива.

Теория информации

и автоматического

управления

Метрология

Программирование

Заметки инженера

 Решебник

Научись самостоятельно изготавливать электронные устройства с сайтом  radiohlam.ru

ПОРА СТАНОВИТЬСЯ ЭЛЕКТРОНЩИКОМ

О сайте

Решим для вас задачи по математике, физике, тау, программированию...

Совершенно бесплатно. Подробности в разделе Решебник

© 2007 Материалы сайта охраняются законом об авторском праве