Узнай об автоматике все - читай kip-help.narod.ru

Найти: на

Хочешь узнать ответ

на свой вопрос?

Напиши в редакцию!
Что такое характеристический полином, условие устойчивости Письмо в редакцию

Теория и практика

электроники

 Чтобы понять, что такое характеристический полином - необходимо вспомнить, что уравнение Y(S)=W(S)*X(S) (1) - это по сути линейное дифференциальное уравнение, но, для удобства, записанное в операторной форме. Если передаточная функция - это отношение полиномов, т.е. W(S)=B(S)/A(S), то уравнение (1) можно записать в виде:

Y(S)*A(S)=X(S)*B(S) (2)

Решение уравнения (2) можно представить в виде суммы общего и частного решений соответственно однородного и неоднородного дифференциальных уравнений:

y(t)=yобщ(t)+yчаст(t)

yобщ(t) – определяет свободное движение системы (после того, как ее вывели из состояния равновесия) и называется переходной (свободной) составляющей, она определяется левой частью уравнения (2)(т.е. только параметрами самой системы);

yчаст(t) – определяет вынужденное движение системы, обусловленное x(t), и зависит как от параметров системы, так и от закона изменения входа x(t).

То, как будет двигаться система после снятия возмущающего воздействия (вернется в прежнее состояние или близкое к нему, или будет бесконечно колебаться с постоянной или возрастающей амплитудой), т.е. устойчивость системы - определяется общим решением однородного дифференциального уравнения, т.е. левой частью уравнения (2) (знаменателем передаточной функции).

Так как знаменатель передаточной функции характеризует собственное поведение системы после выведения ее из положения равновесия и снятия возмущения - то его стали называть характеристическим полиномом (квазиполином - для систем с запаздыванием)

Итак: характеристический полином - это знаменатель передаточной функции системы.

Решениями однородного дифференциального уравнения, в зависимости от типа корней характеристического полинома  могут быть:

 решение, соответствующее i-му вещественному корню ai: 

yп(t)=Mi * eai*t

 решение, соответствующее i-м комплексно-сопряженным корням ai±j*bi: 

yп(t)=Mi * eai*t * (sin(bi*t+ji))

Как видно, - сходимость или расходимость этих решений определяется вещественной частью корней характеристического полинома. Если вещественная часть корня отрицательная, то экспонента eai*t стремится к нулю при t->¥, а если вещественная часть корня положительная, то экспонента eai*t стремится к бесконечности при t->¥, т.е. процесс расходится, если же вещественная часть корня равна нулю (чисто мнимые корни), то экспонента eai*t=1 и процесс колебательный.

Отсюда следует условие устойчивости систем:

Чтобы система была устойчива - необходимо, чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные вещественные части (располагались левее мнимой оси).

Если хотя бы один корень характеристического полинома расположен на мнимой оси (а все остальные слева от нее), то такая система находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один корень характеристического полинома расположен справа от мнимой оси (а все остальные слева от нее или на ней), то такая система является неустойчивой.

Теория информации

и автоматического

управления

Метрология

Программирование

Заметки инженера

 Решебник

Научись самостоятельно изготавливать электронные устройства с сайтом  radiohlam.ru

 

ПОРА СТАНОВИТЬСЯ ЭЛЕКТРОНЩИКОМ

О сайте
 

Решим для вас задачи по математике, физике, тау, программированию...

Совершенно бесплатно. Подробности в разделе Решебник

 

 

© 2007 Материалы сайта охраняются законом об авторском праве