Узнай об автоматике все - читай kip-help.narod.ru

Хочешь узнать ответ

на свой вопрос?

Напиши в редакцию!

Теория и практика

электроники

Метод Гаусса (метод Гауссовых исключений) состоит в том, что совместную систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (определитель матрицы системы отличен от нуля)

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными преобразованиями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась диагональная матрица

В результате получаем решение системы:

Алгоритм:

Дана расширенная матрица Ар

Прямой ход

I-й шаг

1) Находим максимальный по абсолютной величине элемент в первом столбце.

2) Строки матрицы переставляем так, чтобы он оказался в первой строке.

После перестановки строк максимальный по модулю элемент в первом столбце - это a₁₁. Он называется ведущим элементом.

3) Умножим первую строку на число -a₂₁/a₁₁ и прибавим ко второй строке, затем умножим первую строку на число -a₃₁/a₁₁ и прибавим к третьей строке, и т.д. То есть последовательно умножаем первую строку на число -a_i1/a₁₁ и прибавляем к i-й строке, для всех i=2,3, ... ,n

В итоге получим матрицу, у которой в первом столбце все элементы, кроме a₁₁ равны нулю.

II-й шаг

1) Находим максимальный по абсолютной величине элемент во втором столбце (во всех строках, кроме первой)

2) Строки матрицы переставляем так, чтобы он оказался во второй строке

Здесь ведущий элемент - это a₂₂.

3) Умножим вторую строку на число -a₃₂/a₂₂ и прибавим к третьей строке, затем умножим вторую строку на число -a₄₂/a₂₂ и прибавим к четвертой строке и т.д. То есть последовательно умножаем вторую строку на число -a_i2/a₂₂ и прибавляем к i-й строке, для всех i=3,4, ... ,n

В итоге получим матрицу, у которой в первом и втором столбце все элементы, кроме a₁₁, a₁₂, a₂₂ равны нулю.

k-й шаг

1) Находим максимальный по абсолютной величине элемент в k-том столбце (во всех строках, кроме первых k-1)

2) Строки матрицы переставляем так, чтобы он оказался в k-той строке.

Здесь ведущий элемент - это a_kk.

3) Последовательно умножаем k-тую строку на число -a_ik/a_kk и прибавляем к i-той строке, для всех i=k+1,k+2, ... ,n.

В итоге, после n-1 шагов получим матрицу G.

Обратный ход

I-й шаг

умножаем последнюю строку на число -g_n-1,n/g_n,n и прибавляем к предпоследней строке, затем умножаем последнюю строку на число -g_n-2,n/g_n,n и прибавляем к (n-2)-й строке, и т.д. То есть последовательно умножаем последнюю строку на число -g_n-i,n/g_n,n и прибавляем к (n-i)-й строке, для i=1,2, ... ,n-1.

k-й шаг

Последовательно умножаем k-ю строку на число -g_n-i,k/g_n-k,n-k и прибавим к i-й строке, для всех i=k-1,k-2, ... ,n-1.

В итоге, после n-1 шагов, получим матрицу C.

Решение вычисляем по формулам:

Теория информации

и автоматического

управления

Метрология

Программирование

Заметки инженера

 Решебник

Научись самостоятельно изготавливать электронные устройства с сайтом  radiohlam.ru

ПОРА СТАНОВИТЬСЯ ЭЛЕКТРОНЩИКОМ

О сайте

Решим для вас задачи по математике, физике, тау, программированию...

Совершенно бесплатно. Подробности в разделе Решебник

© 2007 Материалы сайта охраняются законом об авторском праве